Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề áp dụng cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, bạn đọc có thể tham khảo thêm trên Wikipedia, ở đây tôi chỉ trình bày một số ví dụ về việc sử dụng phương pháp này trong việc chứng minh các bài toán thôi. Nào, bắt đầu!
Chứng minh rằng:
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Với $n=1$: $1^2=\dfrac{1(1+1)(2.1+1)}{6}\Rightarrow$ đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\geq1$, tức là $$1^2+2^2+3^2+…+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh $$1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}$$
Thật vậy:
$1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2$
$=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2$
$=(k+1)\left(\dfrac{k(2k+1)}{6}+(k+1)\right)$
$=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}$
Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$.
Suy ra đẳng thức đúng với $\forall n\in\Bbb{N}^*$
Chứng minh rằng:
$$1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Với $n=1$: $1^2=\dfrac{1(4.1^2-1)}{3}\Rightarrow$ đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\geq1$, tức là $$1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2=\dfrac{k(4k^2-1)}{3}$$
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh $$1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+(2k+1)^2=\dfrac{(k+1)(4[k+1]^2-1)}{3}=\dfrac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$$
Thật vậy:
$1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+(2k+1)^2$
$=\dfrac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2$
$=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2$
$=(2k+1)\left(\dfrac{k(2k-1)}{3}+(2k+1)\right)$
$=\dfrac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}$
Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$.
Suy ra đẳng thức đúng với $\forall n\in\Bbb{N}^*$.