Quy tắc L’Hôpital (cũng được gọi là quy tắc Bernoulli) là quy tắc sử dụng đạo hàm để tính toán các giới hạn có dạng vô định. Ứng dụng của quy tắc này là đưa dạng vô định trở thành dạng hữu hạn, cho phép tính toán giới hạn một cách dễ dàng. Quy tắc này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Guillaume de L’Hôpital. Ông đã phát biểu quy tắc này trong cuốn sách Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696) của mình – cuốn sách đầu tiên về phép tính vi phân. Tuy nhiên, công thức này được cho là do nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli phát hiện.
Quy tắc L’Hopital
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)\neq0$.
Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)=0$ (hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow c}g(x)=\pm\infty$) và $\lim\limits_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ tồn tại thì
$$\lim\limits_{x\rightarrow c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$$
Nếu $\lim\limits_{x\rightarrow c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ vẫn còn dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$ thì ta vẫn có thể áp dụng quy tắc L’Hopital cho đến khi hết còn dạng vô định.
Ví dụ
a) $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}$
Giới hạn này không thể áp dụng quy tắc L’Hopital vì $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{(x+\sin x)’}{x’}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1+\cos x}{1}$ không tồn tại.
b) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-x}{x-sin x}$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-x}{x-\sin x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\tan x-x)’}{(x-\sin x)’}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2x}-1}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^2x}{(1-\cos x)\cos^2x}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x)\cos^2x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+\cos x}{\cos^2x}=\dfrac{1+1}{1}=2$
c) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^3}{x-\sin x}$
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^3}{x-\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x^2}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{6x}{\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{6}{\cos x}=\dfrac{6}{1}=6$