Vì sao lại thế - Kỳ 1: Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Khi nói về giá trị tuyệt đối, nhiều sách vở và tài liệu có nêu một tính chất rằng: |a+b|\leq|a|+|b|, dấu "=" xảy ra khi ab\geq0. Vì sao lại thế?

Với mọi số thực a, b, ta đều có:
ab\leq|a||b|
Dấu "=" chỉ xảy ra nếu a và b cùng dấu, tức là ab\geq0

Nhân hai vế của bất đẳng thức cho 2, sau đó cộng hai vế với a^2+b^2, ta được:
a^2+2ab+b^2\leq a^2+2|a||b|+b^2
\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\leq |a|^2+2|a||b|+|b|^2
\Leftrightarrow (a+b)^2\leq \left(|a|+|b|\right)^2

Rút căn bậc 2 cả hai vế, ta được:
|a+b|\leq|a|+|b|

|a|+|b|\geq0, \forall a, b nên \sqrt{\left(|a|+|b|\right)^2}=|a|+|b|, còn a+b chưa biết âm hay dương nên \sqrt{(a+b)^2}=|a+b|.

Thì ra là thế!

Bình luận

Chia sẻ