Prove that there is no rational number whose square is 2

Let $p/q$ be a rational number whose square is 2, where we assume that $p/q$ is in lowest terms, i.e. $p$ and $q$ have no common integer factors except $\pm1$ (integers relatively prime).

Then $(p/q)^2=2$, $p^2=2q^2$ and $p^2$ is even. From Prove that the square of any odd integer is odd, $p$ is even if $p$ if $p$ were odd, $p^2$ would be odd. Thus $p=2m$.

Substituting $p=2m$ in $p^2=2q^2$ yields $q^2=2m^2$, so that $q^2$ is even and q is even too.

Thus $p$ and $q$ have the common factor 2, contradicting the original assumption that they had no common factors other than $\pm1$. By virtue of this contradiction there can be no rational number whose square is 2.

Dịch

Bài toán: Chứng minh rằng không có số hửu tỉ nào có bình phương bằng 2 (tức là $\sqrt{2}$ không phải số hửu tỉ)

Giải:

Bài này chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử có số hửu tỉ mà bình phương bằng 2, tức là số đó có dạng $p/q$, và đây là phân số tối giản (nghĩa là $p$ và $q$ không có ước chung).

Khi đó, $(p/q)^2=2$

$\Leftrightarrow p^2=2q^2$. (1)

Theo đó, $p^2$ là số chẵn.

Theo bài chứng minh Prove that the square of any odd integer is odd đã đăng trước đây, $p$ cũng phải là số chẵn.

Vậy $p$ phải có dạng $p=2m$. (2)

Thế (2) vào (1), ta được: $(2m)^2=2q^2$.

$\Leftrightarrow4m^2=2q^2\Leftrightarrow q^2=2m^2$.

Suy ra $q^2$ cũng là số chẵn, và $q$ cũng là số chẵn.

Vậy $p$ và $q$ có ước chung là 2, vì đều là số chẵn.

Điều này trái với giả thuyết ban đầu $p/q$ là phân số tối giản.

Vậy, không có số hửu tỉ nào có bình phương bằng 2.