Prove that there is no rational number whose square is 2

Let p/q be a rational number whose square is 2, where we assume that p/q is in lowest terms, i.e. p and q have no common integer factors except \pm1 (integers relatively prime).

Then (p/q)^2=2, p^2=2q^2 and p^2 is even. From Prove that the square of any odd integer is odd, p is even if p if p were odd, p^2 would be odd. Thus p=2m.

Substituting p=2m in p^2=2q^2 yields q^2=2m^2, so that q^2 is even and q is even too.

Thus p and q have the common factor 2, contradicting the original assumption that they had no common factors other than \pm1. By virtue of this contradiction there can be no rational number whose square is 2.

Dịch

Bài toán: Chứng minh rằng không có số hửu tỉ nào có bình phương bằng 2 (tức là \sqrt{2} không phải số hửu tỉ)

Giải:

Bài này chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử có số hửu tỉ mà bình phương bằng 2, tức là số đó có dạng p/q, và đây là phân số tối giản (nghĩa là pq không có ước chung).

Khi đó, (p/q)^2=2

\Leftrightarrow p^2=2q^2. (1)

Theo đó, p^2 là số chẵn.

Theo bài chứng minh Prove that the square of any odd integer is odd đã đăng trước đây, p cũng phải là số chẵn.

Vậy p phải có dạng p=2m. (2)

Thế (2) vào (1), ta được: (2m)^2=2q^2.

\Leftrightarrow4m^2=2q^2\Leftrightarrow q^2=2m^2.

Suy ra q^2 cũng là số chẵn, và q cũng là số chẵn.

Vậy pq có ước chung là 2, vì đều là số chẵn.

Điều này trái với giả thuyết ban đầu p/q là phân số tối giản.

Vậy, không có số hửu tỉ nào có bình phương bằng 2.

Thẻ:

Leave A Comment?