Cách xác định trọng tâm của một đa giác lồi

Hầu hết mọi người đều nghĩ rằng chỉ có tam giác mới có trọng tâm, và khi nói tới trọng tâm tức là trọng tâm của tam giác. Vậy thì tứ giác, ngũ giác, lục giác... có trọng tâm không, và các đa diện trong không gian có trọng tâm hay không, nếu có thì xác định chúng bằng cách nào... Trong bài viết này, tôi sẽ giải quyết điều đó.

Trọng tâm của một hình là gì

Trước hết, ta cần biết đến một tính chất quan trọng của trung điểm đoạn thẳng như sau:

M là trung điểm của AB \Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}
\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM} (với mọi điểm S tùy ý)

Tiếp theo, ta cần hiểu trọng tâm của một hình là điểm như thế nào. Khái niệm trọng tâm được trình bày trên Wikipedia như sau:

In mathematics and physics, the centroid or geometric center of a plane figure is the arithmetic mean position of all the points in the figure. Informally, it is the point at which a cutout of the shape could be perfectly balanced on the tip of a pin.

Theo đó, trọng tâm của một hình đa giác hay đa diện không nhất thiết phải cách đều các đỉnh của nó, mà phải là điểm cân bằng.

Vậy nếu S là trọng tâm của đa giác A_1A_2A_3...A_n thì:

\overrightarrow{SA_1}+\overrightarrow{SA_2}+\overrightarrow{SA_3}+...+\overrightarrow{SA_n}=\overrightarrow{0}

Điều này giống như một sự mở rộng của trung điểm của đoạn thẳng và hoàn toàn phù hợp với trọng tâm của tam giác. Sau đây là một số ví dụ.

Một số trường hợp thường gặp

Trọng tâm tam giác

S là trọng tâm tam giác ABC \Leftrightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{0}
S là trọng tâm tam giác ABC \Leftrightarrow\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{0}, với M là trung điểm BC
S là trọng tâm tam giác ABC \Leftrightarrow\overrightarrow{SA}=-2\overrightarrow{SM}

Điều này có nghĩa là:

  • Ba điểm S, A, M thẳng hàng
  • \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SM} ngược hướng
  • SA=2SM

Từ đó suy ra điểm S nằm trên đoạn thẳng AM và SA=\dfrac{2}{3}AM.

Trọng tâm tứ giác

S là trọng tâm tứ giác ABCD \Leftrightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{0}
S là trọng tâm tứ giác ABCD \Leftrightarrow2\overrightarrow{SE}+2\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{0}, với E, F lần lượt là trung điểm AB, CD
S là trọng tâm tứ giác ABCD \Leftrightarrow\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}=\overrightarrow{0}
S là trọng tâm tứ giác ABCD \Leftrightarrow S là trung điểm của EF

Trọng tâm ngũ giác

S là trọng tâm ngũ giác ABCDE \Leftrightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{0}
S là trọng tâm ngũ giác ABCDE \Leftrightarrow4\overrightarrow{SF}+\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{0}, với K là trọng tâm tứ giác ABCD
S là trọng tâm ngũ giác ABCDE \Leftrightarrow\overrightarrow{SE}=-4\overrightarrow{SF}

Điều này có nghĩa là:

  • Ba điểm S, E, F thẳng hàng
  • \overrightarrow{SE}\overrightarrow{SF} ngược hướng
  • SE=4SF

Từ đó suy ra điểm S nằm trên đoạn thẳng EF và SE=\dfrac{4}{5}EF.

Trọng tâm hình chóp

Bằng cách hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể xác định được trọng tâm của các hình chóp, ví dụ như tứ diện và hình chóp tứ giác dưới đây.

Hy vọng bài viết này có giúp ích cho bạn đọc, hẹn gặp lại trong bài viết sau.

Bình luận

Chia sẻ