Tổng số đo góc của đa giác lồi n cạnh trong Hình học Euclide

Nhân vừa đọc cuốn sách Công phá Toán 2 của nhóm tác giả Lovebook, tôi chợt ngẫu hứng viết bài này. Một là viết cho vui, hay là để tặng cho các bạn nào muốn mở rộng kiến thức, đặc biệt dành tặng các bé lớp 11 chuẩn bị học Phương pháp quy nạp Toán học. Chúc các bạn vui!

Ta đã biết, tổng ba góc trong một tam giác là 180^o, tức là một \pi. Vậy câu hỏi đặt ra là tổng các góc trong một tứ giác, ngũ giác, thập lục giác (đa giác 16 cạnh), hay thậm chí là đa giác có 1000 cạnh bằng bao nhiêu?

Quan sát hình trên, ta thấy các đa giác có thể chia nhỏ thành các tam giác thành phần, miễn là không chồng chéo nhau và khi hợp lại thì vừa đủ thành đa giác ban đầu. Mà mỗi tam giác lại có tổng các góc bằng 180^o. Do đó, tứ giác có tổng các góc bằng 2.180=360^o, ngũ giác có tổng các góc bằng 3.180=540^o. Sắp xếp lại các thông tin, ta thấy:

  • Đa giác 3 cạnh có 1.180=180^o
  • Đa giác 4 cạnh có 2.180=360^o
  • Đa giác 5 cạnh có 3.180=540^o

Dự đoán, "đa giác n cạnh sẽ có tổng các góc bằng (n-2).180^o, với \forall n\geq3".

Quá hay!

Chỉ có điều, đây mới chỉ là dự đoán chủ quan, chưa được minh chứng. Vì đây là mệnh đề mang tính chất tổng quát, do đó, tiếp theo sau đây tôi sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1. Với n=3, ta có đa giác 3 cạnh (tam giác) nên có tổng ba góc bằng 1.180=180^o.
Vậy, mệnh đề đúng với n=3.

Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với n=k\geq3, tức là:
"Đa giác k cạnh sẽ có tổng các góc bằng (k-2).180^o"

Bước 3. Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1, tức là chứng minh:
"Đa giác k+1 cạnh sẽ có tổng các góc bằng (k+1-2).180^o=(k-1).180^o"

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ở Bước 2, đa giác k cạnh (có k đỉnh) có thể chia thành k-2 tam giác. Nếu thêm một điểm (đỉnh) ở phía ngoài, ta sẽ được một đa giác mới có k+1 cạnh. Hơn nữa, từ đỉnh mới này, ta lại có thể lập thành một tam giác mới, tức là có tổng cộng k-2+1=k-1 tam giác. Do đó, tổng ba góc trong đa giác này bằng (k-1).180^o. Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1.

Vậy, "Đa giác n cạnh sẽ có tổng các góc bằng (n-2).180^o, với \forall n\geq3".

Xin lưu ý rằng, điều này chỉ đúng với đa giác lồi, trong hình học Euclide. Còn đối với đa giác không lồi, hay trong hình học phi Euclide như Hình học Vi phân, Hình học Hyperbolic... thì điều này là không đúng (kể cả với tam giác).

Leave A Comment?